Première partie. Diffraction

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Première partie Diffraction 1 Chapitre 1 Diffraction 1.1 Rappels sur l onde plane Généralités On se place dans un milieu linéaire, homogène et isotrope(milieu parfait) loin des sources de champ électromagnétique
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Première partie Diffraction 1 Chapitre 1 Diffraction 1.1 Rappels sur l onde plane Généralités On se place dans un milieu linéaire, homogène et isotrope(milieu parfait) loin des sources de champ électromagnétique (densité de charge nulle, densité de courant nulle). L équation de propagation du champ ( E, B) s écrit : E 1 v 2 2 E t 2 = 0 B 1 v 2 2 B t 2 = 0 L onde plane est une solution particulière de cette équation. Les champs ne dépendent que d une seule variable d espace que l on notera ici z. L équation de propagation se simplifie sous cette hypothèse et l on montre que E et B s écrivent comme la somme de deux vibrations se propageant en sens inverse l une de l autre à la vitesse v : E(t± z v ) et B(t± z v ) L onde plane monochromatique ou onde plane sinusoïdale est une forme particulière de ces solutions pour lesquelles E et B sont des fonctions trigonométriques : cosinus, sinus ou plus généralement exponentielles complexes. Si ω est la pulsation de la fonction trigonométrique on écrit : (1.1) E = E 0 exp i( k. r ±ωt) B = B 0 exp i( k. r ±ωt) (1.2) où k = ω vẑ est le vecteur d onde. Généralement les ondes proviennent de sources quelque part dans l espace et se propagent de la source vers le point courant (point où les champs sont calculés). On doit alors choisir le signe + ou - dans les expressions ci-dessus. Sauf indication contraire on choisira le signe - (propagation vers les z 0, l onde est dite progressive). E = E 0 exp i( k. r ωt) B = B 0 exp i( k. r ωt) (1.3) et l on a B = ˆk v E E = vb 2 Chapitre 1 : Diffraction 3 La structure de l onde plane est schématisée par la figure ci-après. Les champs E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation ˆk, en phase et constants dans tout plan perpendiculaire à ˆk dit plan d onde. E B k Plan d onde perpendiculaire à la direction de propagation Champ scalaire Amplitude complexe On considèrera un champ scalaire U( r, t) qui représente l a valeur algébrique du champ électrique, c est à dire U( r,t) = E 0 exp i( k. r ωt) (1.4) Comme E et B sont proportionnels le champ scalaire U( r, t) peut aussi bien représenter le champ magnétique. On écrira donc pour plus de généralité U( r,t) = ψ 0 exp i( k. r ωt) (1.5) ψ 0 valant indifféremment E 0 ou B 0. On appellera amplitude complexe, notée ψ( r) la partie spatiale de U( r,t) : ψ( r) = E 0 exp i( k. r) (1.6) Le champ scalaire suffit à décrire l onde plane tant qu on ne s intéresse pas à la polarisation. Par commodité, on dira très souvent onde plane pour désigner une onde plane monochromatique. Conventions de notation On posera α k = 2π β où (α,β,γ) sont les composantes du vecteur unitaire ˆk, appelés aussi cosinus directeurs γ du vecteur k. On a α 2 +β 2 +γ 2 = 1 (1.7) On écrira alors l onde plane sous la forme ψ(x,y,z) = ψ 0 exp [ ] 2iπ (αx+βy +γz) α,β et γ peuvent s écrire en fonction des deux angles (θ x,θ y ) des coordonnées sphériques comme définis sur la figure 1.1 : α = sinθ x β = cosθ x. sinθ y γ = cosθ x = 1 α 2 β 2 (1.8) Chapitre 1 : Diffraction 4 x k θ x θ y z y Figure1.1 Unvecteur k etdanslesystèmed axes(x,y,z).ondéfinitlescosinusdirecteursparα = sinθ x = kx k et β = cosθ x.sinθ y = ky k. Approximation paraxiale pour l onde plane On suppose que l incidence de l onde, c est à dire l angle formé par le vecteur d onde et l axe optique z, est faible. C est à dire θ x 1 et θ y 1. C est souvent le cas quand on fait des expériences optiques sur banc. Sous cette hypothèse, les cosinus directeurs s écrivent sous la forme approchée suivante : α θ x β θ y γ = 1 α 2 β 2 1 α2 +β 2 2 Chiffrons un ordre de grandeur de l angle en dessous duquel on peut considérer que l on est en optique paraxiale. On approxime généralement γ au deuxième ordre pour des raisons qui seront vues plus loin. L erreur que l on fait sur γ est égale au terme suivant du développement, soit (α 2 + β 2 ) 2 /8. Un angle de 1 donne une erreur de l ordre de sur γ si l on fait l approximation paraxiale. Avec un angle de 10 l erreur sur γ devient de l ordre de Au delà, l erreur devient trop grande et l approximation paraxiale devient trop imprécise. On retiendra que l approximation paraxiale pour l onde plane peut être faire si les angles d inclinaison sont inférieurs à 10. Intensité d une onde On appelle intensité la puissance par unité de surface que transporte l onde. Considérons une onde plane de champ électromagnétique ( E, B). Autour un point M de l espace repéré par sa position r, on définit un élément de surface orienté d s = ds n. E θ ds Par définition, la puissance dw qui traverse l élément de surface d s est le flux du vecteur de Poynting IP : IP dw = IP.d s = E B µ 0.d s B Ce qui donne, compte-tenu du fait que le champ électromagnétique doit être exrpimé en notation réelle pour Chapitre 1 : Diffraction 5 faire le produit vectoriel : dw = E 0 B 0 µ 0 cosθ cos 2 ( k. r ωt) ds d où l intensité instantannée de l onde plane, définie positive, I( r,t) = dw ds = E 0 2 µ 0 v cosθ cos2 ( k. r ωt) Cette fonction sinusoïdale a une pulsation temporelle T = s environ dans le visible. L oeil a un temps d intégration de 40 ms environ, les caméras rapides ont des temps de pose de l ordre de la milliseconde et ne voient en fait pas cette fonction I( r,t) mais sa moyenne sur le temps de pose τ, soit la quantité I : I = 1 τ τ 0 E 0 2 µ 0 v cosθ cos2 ( k. r ωt) dt Pour l oeil, l intégrale porte sur plus de périodes du cos 2, et pour les caméras rapides on intègre environ périodes. L intégrale vaut alors I = E 0 2 µ 0 v cosθ 1 τ τ 0 cos 2 ( k. r ωt) dt E 0 2 µ 0 v cosθ cos2 () et la valeur moyenne d un cos 2 étant de 1/2, l intensité est donnée par I = E 0 2 2µ 0 v cosθ On obtient ainsi le résultat suivant lequel, pour une onde plane monochromatique, l intensité est proportionnelle au module du champ électrique de l onde E 0 = E( r,t). Par habitude, on pose la constante de proportionalité égale à 1. On écrira I = ψ( r) 2 (1.9) avec ψ( r) l attention est attirée sur le fait que la quantité I n est ici plus homogène à une puissance par unité de surface (W/m 2 ), mais au carré d un champ électrique. Cas d une onde monochromatique quelconque Le calcul d intensité, établi dans le cas d une onde plane (dont les surfaces d onde sont des plans) se généralise aux ondes monochromatiques d amplitude complexe ψ( r) quelconque, s écrivant ψ( r) = A( r)e iφ( r) avec A et φ réels. Les surfaces d ondes sont en effet assimilables localement à des plans sur la surface ds définie au paragraphe précédent autour du point M. Un développement limité permet de s en convaincre, en effet : φ( r) φ 0 + φ. r avec φ 0 une constante, et A( r) A 0 avec A 0 une constante (on ne gardera que l ordre 0 qui suffit pour le terme A( r)). Ainsi l amplitude complexe de l onde s approxime, autour du point M, par ψ( r) A 0 e iφ0 e i k. r c est à dire une onde plane, avec k = φ un vecteur d onde local, gradient de la phase de l onde au point M. Le raisonnement qui a conduit au calcul de l intensité pour une onde plane s applique donc aussi au cas d une onde quelconque qui est localement plane. L intensité est donc là aussi le carré du module de l amplitude complexe I( r) = ψ( r) L onde sphérique monochromatique Une solution particulière de l équation de propagation concerne les ondes émises par les sources ponctuelles : les ondes sphériques dont l image naïve est celle des ronds dans l eau obtenus lorsqu on lance une pierre dans Chapitre 1 : Diffraction 6 l eau. Une onde sphérique est caractérisée par la symétrie sphérique de son champ électromagnétique. Si elle est monochromatique, alors son champ électrique s écrit L équation de propagation de ψ prend alors la forme avec le laplacien réduit à sa partie radiale qui s écrit U( r,t) = ψ(r) e iωt ψ ω2 v 2ψ = 0 = 1 r 2 d dr ( r 2 d ) dr en introduisant le vecteur d onde k = ω v l équation devient ( 1 d r 2 r 2dψ ) k 2 r 2 ψ = 0 dr dr Le chamgement de variable f(r) = rψ(r) permet de se ramener à l équation d un oscillateur harmonique f +k 2 f = 0 dont la solution en exp ±ikr permet d écrire la forme générale de l onde sphérique U( r,t) = ψ 0 r ei(±kr ωt) (1.10) Le signe de kr dans l exponentielle détermine la nature convergente ou divergente de l onde : Signe - Signe + S S les surfaces d onde se propagent vers ˆr, l onde est convergente les surfaces d onde se propagent vers +ˆr, l onde est divergente On peut noter deux différences avec l écriture de l onde plane kr au lieu k. r : cette différence peut s interpréter par le fait qu en chaque point M la direction de propagation de l onde est parallèle au rayon vecteur r = SM. On peut alors définir un vecteur d onde local k = kˆr dont la norme vaut 2π et dont la direction est celle de la propagation au point M. Il est aisé de voir que k. r = kr. L amplitude décroit comme 1 1 r, donc l intensité comme r. La puissance qui traverse des sphères centrées sur 2 la source est alors indépendante du rayon de la sphère : c est l expression de la conservation de l énergie. Cas d une onde sphérique dont la source n est pas en O On note r 0 = (x 0,y 0,z 0 ) les coordonnées de la source (ou du point de convergence pour une onde convergente). Un simple changement de repère permet d écrire l amplitude complexe de l onde sphérique dans ce cas : ψ( r) = ψ 0 r r 0 e±ik r r0 (1.11) Chapitre 1 : Diffraction 7 r M O Paraboloide tangent Surface d onde sphérique Figure 1.2 Surface d onde d une onde sphérique et son approximation paraxiale, le paraboloïde tangent. L écart entre les deux surfaces est ρ4 8 z 3, terme du 3e ordre du développement limité de r Approximation paraxiale pour l onde sphérique On considère une onde shérique dont la source est en O, on cherche à exprimer son amplitude complexe en un point M de coordonnées (x,y,z) avec la condition x z et y z (point proche de l axe : les rayons provenant de la source sont peu inclinés en M). On supposera que l onde est divergente (signe +) dans l exponentielle. Il suffira de changer k en k dans les expressions qui vont suivre pour une onde convergente. L amplitude complexe en M est avec r = (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2. Notons ρ 2 = x 2 +y 2, on a ψ(r) = ψ 0 r eikr r = z (1+ ρ2 puisque ρ z on fait un développement limité de r ) r z (1+ ρ2 2z 2 ρ4 8z 4 z 2 ) 1/2 = z + ρ2 2 z ρ4 8 z 3 Pour savoir à quel ordre on peut stopper le développement limité, il faut prendre des hypothèses sur les valeurs de ρ, z et k. Prenons les valeurs ρ = 1 cm, z = 1 m, et k = 10 7 m 1 (lumière visible). Les trois termes intervenant dans le développement de r valent terme (1) : z = 1 ρ terme (2) : 2 2 z = ρ terme (3) : 4 8 z On pourrait ainsi se contenter du premier terme en posant simplement r = z, qui donne une erreur à la cinquième décimale. Cette approximation est suffisante pour le terme 1 r qui intervient devant l exponentielle complexe. Mais pas pour le terme e ikr à cause de la grande valeur de k et il est nécessaire, à l intérieur de l exponentielle, de garder les deux premiers termes (le 3e peut par contre être négligé). Ainsi, une onde sphérique dans l approximation paraxiale s écrira : ψ(r) ψ ) 0 z eik z exp (ik ρ2 2 z (1.12) Dans un plan z = Cte, on voit que la phase de l onde est en ρ 2, la surface d onde est un paraboloïde. Il s agit du paraboloïde tangent à la sphère au point (0,0,z), on parle de paraboloïde osculateur (même courbure que la sphère), voir figure 1.2. Chapitre 1 : Diffraction 8 x Onde incidente z=0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 Figure 1.3 Une expérience optique sur banc consiste souvent à éclairer avec une onde plane un ensemble d éléments optiques comme des lentilles ou diaphragmes. Si la direction de propagation de l onde est ẑ, les éléments optiques sont dans des plans transversaux z = z i. Pour étudier l effet des éléments optiques sur la propagation de l onde, il convient de connaitre son amplitude dans chacun des plans z = z i. A quelle distance peut on faire l approximation paraxiale? Il faut que z soit assez grand pour pouvoir négliger l ordre 3 du développement limité de kr, donc que ce qui donne k ρ4 8 z 3 1 ( ρ 4 z ) 1/3 Avec les valeurs numériques ρ = 1 cm et = 1µm, on obtient la condition z 20 cm. Et à distance encore plus grande? Lorsque z devient assez grand, on pourra négliger aussi le second ordre du développement limité de kr. Dans ce cas l amplitude complexe de l onde s écrit : ψ(r) ψ 0 z eik z c est à dire une onde plane, dont les surfaces d onde sont des sphères de rayon de courbure assez grand pour les approximer par leur plan tangent. On parle alors de champ lointain, et cette approximation de l onde sphérique par une onde plane conduit à la diffraction de Fraunofer ou diffraction à l infini, qui sera abordée plus loin. Celà se produit lorsque c est à dire k ρ2 2 z 1 z ρ2 Avec les valeurs numériques ρ = 1 cm et = 1µm, on obtient la condition z 100 m. 1.3 Propagation d une onde plane Problématique En optique on fait souvent des expériences sur un banc, l axe du banc est appelé axe optique. La lumière traverse divers éléments optiques (diaphragmes, primes, lentilles, etc...) disposés dans des plans transversaux z =Cte Chapitre 1 : Diffraction 9 comme schématisé sur la figure 1.3. Pour étudier les effets d un élément optique sur l onde qui le traverse, il importe de connaitre l expression de l amplitude de l onde dans le plan de l élément optique. Il importe également, connaissant l amplitude de l onde dans le plan de sortie z = z 1 d un dispositif, de pouvoir calculer son amplitude dans un plan plus éloigné z = z 2 dans lequel se trouve éventuellement un autre élément optique. La transformation mathématique permettant, connaissant l onde dans un plan z = z 1, de calculer son amplitude dans un plan z = z 2 est appelée transformée de Fresnel, le phénomène physique en jeu est la propagation de la lumière encore appelée diffraction à distance finie ou diffraction de Fresnel Propagation d une onde plane Soit une onde plane (monochromatique) d amplitude complexe ψ( r) de vecteur d onde k quelconque, se propageant vers les z 0. L espace est repéré par un système d axes (x,y,z), z étant l axe optique. On note : f z1 (x,y) = ψ(x,y,z 1 ) f z2 (x,y) = ψ(x,y,z 2 ) Cette notation fait bien ressortir le fait que z est ici un paramètre et que les amplitudes f z sont des fonctions bidimensionnelles. Si ψ(x,y,z) = exp 2iπz (αx+βy +γz), il est trivial de voir que : [ ] 2iπγ(z2 z 1 ) f z2 (x,y) = f z1 (x,y) exp (1.13) Un onde plane qui se propage d un plan z 1 à un plan z 2 subit donc un simple déphasage. Ce ne sera pas le cas pour les autres types ondes dont on va montrer qu elles subissent une transformation plus compliquée qu un simple déphasage. 1.4 Propagation d une somme discrète d ondes planes On considère une somme discrète de N ondes planes monochromatiques ayant toutes la même pulsation ω et dont les champs électriques sont parallèles. Les vecteurs d onde seront notés k n de composantes 2π (α n,β n,γ n ). L amplitude complexe s écrit : ψ(x,y,z) = f z (x,y) = N n=1 [ ] 2iπ A n exp (α nx+β n y +γ n z) Nous cherchons à dégager la relation qui existe entre les valeurs de l amplitude dans deux plans z = 0 et z = d (transformée de Fresnel de f 0 (x,y) sur une distance d). Nous savons écrire cette relation dans le cas d une onde plane; en utilisant le principe de superposition linéaire des champs électriques, il vient que l amplitude en z = d de la somme d ondes planes est la somme des amplitudes complexes de chacune des ondes planes en z = d. Nous connaissons l expression de l onde en z = 0 : f 0 (x,y) = N n=1 [ ] 2iπ A n exp (α nx+β n y) (1.14) on effectue la propagation individuelle de chaque onde plane : celà consiste à multiplier chaque terme de la somme par exp 2iπ (γ nd). On fait ensuite la somme pour obtenir l expression de l amplitude de l onde en z = d : f d (x,y) = N n=1 [ ] 2iπ A n exp (α nx+β n y +γ n d) (1.15) α n et β n sont connus si l on connait f 0 (x,y), γ n ne l est pas mais peut être obtenu par la relation γ n = 1 α 2 n β 2 n. Chapitre 1 : Diffraction Propagation d une onde monochromatique quelconque Soit U( r, t) le champ électrique d une onde quelconque. Ce champ est solution de l équation de propagation et est à ce titre une combinaison linéaire de fonctions de type expi( k. r ωt). Si l onde est monochromatique, la pulsation est la même pour tous les termes de la combinaison linéaire et il vient en facteur un e iωt. Le champ s écrit alors : U( r,t) = ψ(x,y,z) e iωt la partie spatiale f z (x,y) = ψ(x,y,z) est simplement l amplitude complexe de l onde Propagation de l onde entre deux plans z = Cte Soit f 0 (x,y) l amplitude supposée connue d une onde monochromatique quelconque dans le plan z = 0. Cette fonction bidimensionnelle est somme de sa transformée de Fourier : f 0 (x,y) = ˆf 0 (u,v) e 2iπ(ux+vy) dudv (1.16) Faisons le changement de variables α = u, β = v où est la longueur d onde. Il vient ( 1 f 0 (x,y) = ˆf α 2 0, β ) [ ] 2iπ exp (αx+βy) dα dβ (1.17) La quantité ˆf ) (α 0, β est appelée spectre angulaire de f 0 (x,y). Comparons cette expression à l équation 1.14 exprimant une somme discrète d ondes planes dans le plan z = 0. Nous avons ici la même formule en ayant remplacé la somme discrète par une intégrale. L amplitude f 0 (x,y) apparait alors comme une somme continue d ondes planes se propageant dans des directions (α,β). Le terme ˆf (α 0, β dα dβ est l équivalent du A n de la formule 1.14 et représente le poids de chacune des ondes planes dans la somme. Pour obtenir l expression f z (x,y) de l amplitude de l onde dans un plan z 0 il suffit de multiplier chaque onde plane par un terme exp 2iπγz où γ = 1 α 2 β 2, puis de faire la somme. Il vient : ( 1 f z (x,y) = ˆf α 2 0, β ) exp Principe de Huygens-Fresnel ) [ 2iπ (αx+βy +γz) ] dα dβ (1.18) On se place pour la suite du raisonnement dans les conditions de l optique paraxiale. Posant γ = 1 α2 +β 2 2, l expression de f z (x,y) devient 1 f z (x,y) = e 2iπz ( 1 ˆf α 2 0, β ) [ exp iπz ] [ ] 2iπ (α2 +β 2 ) exp (αx+βy) dα dβ (1.19) le changement de variable u = α/, v = β/ donne f z (x,y) = e 2iπz ˆf 0 (u,v) exp [ iπz(u 2 +v 2 ) ] e 2iπ(ux+vy) dudv (1.20) et en posant ĝ 0 (u,v) = exp [ iπz(u 2 +v 2 ) ] on cette expression est celle d une transformée inverse de Fourier : } f z (x,y) = e 2iπz F 1{ˆf0 (u,v). ĝ 0 (u,v) (1.21) 1. Le lecteur aura remarqué que l approximation paraxiale est faite alors que l intégration va de à pour les variables α et β. Cette approximation n est en fait possible que si la fonction ˆf ( ) α 0, β est rapidement décroissante de manière à limiter le domaine où l intégrale a des valeurs significatives (support 1). Si la fonction f 0 (x,y) a un support a (cas d une one plane ayant traversé un diaphragme de diamètre a), alors ˆf ( ) α 0, β a un support a. La condition sur le support de ˆf 0 impose donc la condition a : la diffraction de Fresnel telle que nous la décrivons est valable si les éléments optiques rencontrées par l onde ont une taille grande devant la longueur d onde. Dans le domaine des rayons X, les distances inter-atomiques sont comparables à et l on utilise la diffraction de Bragg. Chapitre 1 : Diffraction 11 dans laquelle F désigne la transformée de Fourier (T.F.). Il vient la fonction g(x,y) peut se calculer avec les relations entre T.F. suivantes : F {e iπx2} = ie iπu2 F {h(ax)} = a ĥ( 1 u ) a f z (x,y) = e 2iπz f0 (x,y) g(x,y) (1.22) La deuxième de ces relations n est valable qu à la condition arg(a) π/4 et n est en particulier pas valable quand a = i (les résultats connus sur les TF de gaussiennes ne s appliquent pas pour trouver la TF de e iπx2 qui soit faire l objet d un calcul spécifique par exemple par la méthode des résidus). Il vient g(x,y) = 1 [iπ iz exp x2 +y 2 ] (1.23) z et la transformée de Fresnel s écrit comme une convolution f z (x,y) = e 2iπz f0 (x,y) 1 [iπ iz exp x2 +y 2 ] z (1.24) la fonction g(x, y) est la réponse impulsionnelle de la diffraction de Fresnel. Cette dernière peut ainsi être interprétée comme un filtrage linéaire des fréquences spatiales de f 0. En remarquant que le terme [ 1 e2iπz exp iπ x2 +y 2 ] z z est l expression d u
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